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Crescenza e decrescenza di una funzione
Nello studio del grafico di una funzione è importante sapere in quali intervalli del dominio un arco della curva è crescente o decrescente. Un arco di curva in un intervallo [a; b] è crescente se al crescere di x cresce anche y e viceversa un arco di curva in un intervallo [a; b] è decrescente se al crescere di x decresce y.
Come si può stabilire in quali intervalli del dominio il grafico di y=f(x) è crescente o decrescente? Si possono individuare gli intervalli in cui la curva è crescente o decrescente, studiando il segno della derivata prima della funzione.
Una funzione y=f(x) continua nell'intervallo chiuso e limitato [a; b], derivabile in ogni punto interno a tale intervallo è crescente in [a; b] se:y'=f'(x) > 0; ∀x ∈ (a; b)
Invece, è decrescente in [a; b] se:
y'=f'(x) < 0; ∀x ∈ (a; b)
Questa regola ha un significato geometrico: Ricordiamo che la derivata prima di una funzione in un punto di ascissa x0 interno al dominio rappresenta il coefficiente angolare o pendenza della retta tangente al grafico della funzione nel punto (x0; f(x0)). Ora, se nell'intervallo f'(x0)>0; ∀x0 ∈ (a; b) il grafico della funzione ha in ogni suo punto (x0; f(x0)) una tangente di coefficiente angolare positivo la funzione y=f(x) è necessariamente crescente.
Invece, se nell'intervallo f'(x0)<0; ∀x0 ∈ (a; b) il grafico della funzione ha in ogni suo punto (x0; f(x0)) una tangente di coefficiente angolare negativo la funzione y=f(x) è necessariamente decrescente.
Studiamo la crescenza e la decrescenza della funzione y=x3-3x+2.
La derivata prima della funzione è f'(x)=3x2-3=3(x2-1). Pertanto il segno di f'(x) è positivo negli intervalli:(-∞; -1) e (1; +∞)
e negativo nell'intervallo:
(-1; 1)
Come si vede nello schema e nel grafico della funzione:
